Mathematik

Gewichtsdrift. Startet das Portfolio mit den Zielgewichten $w_e$ und $w_b = 1 - w_e$ und entwickeln sich die beiden Bausteine über einen Zeitraum um die Faktoren $R_e$ und $R_b$ , dann ist der Aktienanteil am Ende:

w_e(t) = \frac{w_e R_e}{w_e R_e + w_b R_b}

Das Portfolio driftet also ohne Zutun in Richtung des Bausteins, der besser gelaufen ist. Ohne Zurückschichten wird aus einer gemischten Strategie über die Jahre eine Wette auf den Gewinner der Vergangenheit.

Bandbedingung. Die Bandprüfung vergleicht den tatsächlichen Anteil mit dem Zielgewicht, in Prozentpunkten gerechnet:

\bigl| w_i(t) - w_i^{*} \bigr| \ge b_i \quad \Rightarrow \quad \text{Handlungsbedarf}

Bei zwei Bausteinen sind die beiden Abweichungen betragsgleich; ein Band auf einer Seite wirkt deshalb immer auch auf der anderen.

Rebalancing-Prämie. Der Beitrag des Zurückschichtens lässt sich als Diversifikationsrendite schreiben. Mit den Schwankungsbreiten $\sigma_i$ der Bausteine und der Schwankungsbreite $\sigma_p$ des zurückgeschichteten Portfolios gilt näherungsweise:

\Delta g \approx \frac{1}{2}\left( \sum_i w_i \sigma_i^2 - \sigma_p^2 \right)

Der Ausdruck ist positiv, solange die Bausteine nicht vollständig gleichläufig sind. Das ist der rechnerische Kern der Behauptung, dass regelmäßiges Zurückschichten mehr ist als Kosmetik. Gegenüber Halten kann der Beitrag negativ ausfallen, sobald eine Seite über Jahre davonläuft; dann verkauft die Regel sie laufend.

Diversifikation unter Hebel. Die Portfolio-Schwankung zweier Bausteine mit Korrelation $\rho$ ist:

\sigma_p^2 = w_e^2 \sigma_e^2 + w_b^2 \sigma_b^2 + 2 w_e w_b \rho\, \sigma_e \sigma_b

Ein negatives $\rho$ senkt $\sigma_p$ deutlich. Genau darauf setzt die Strategie, und genau deshalb ist sie empfindlich: Der Hebel wirkt auf die Schwankung linear, auf den Schwankungsschaden aber quadratisch. Verschwindet die Gegenläufigkeit, steigt $\sigma_p$ , und der Schaden wächst überproportional.

Zinsregime. $\rho$ ist keine Konstante. Die ausgeprägt negative Korrelation zwischen Aktien und langen Staatsanleihen ist ein Phänomen bestimmter Jahrzehnte, vor allem solcher mit fallender Inflation. In Phasen steigender Inflation und steigender Zinsen liefen beide Seiten gleichgerichtet nach unten.

Damit ist die Strategie nicht nur eine Aufteilung, sondern implizit eine Annahme über das Zinsumfeld. Diese Annahme steht in keiner Formel, aber in jeder Rückrechnung.

Tag für Tag gerechnet

Die Standardfassung schichtet nach Termin zurück. Am ersten gemeinsamen Tag, an dem beide Produkte einen Kurs haben, kauft sie mit dem Wert 100 die Stückzahlen nach dem Zielgewicht $w_e$ :

\begin{gathered} n_e = \frac{100\, w_e}{P_e(0)} \\ n_b = \frac{100\,(1 - w_e)}{P_b(0)} \end{gathered}

Zwischen zwei Terminen bleiben die Stückzahlen fest, der Wert ist Stückzahl mal Kurs, und der Aktienanteil driftet wie in der Gewichtsdrift oben:

W(t) = n_e\, P_e(t) + n_b\, P_b(t)

Die Fristen zählen vom ersten gemeinsamen Tag. Nach Termin sind sie feste Kalendertage: der 1. jedes Monats, dessen Abstand zum Januar ein Vielfaches der Periode ist, bei drei Monaten also der 1. Januar, April, Juli und Oktober. Die erste Frist ist der erste Termin nach dem ersten gemeinsamen Tag, jede weitere der nächste Termin nach dem ausgeführten.

Bei quartalsweisem Rebalancing rechnet die Regel mit dem ersten Handelstag jedes Quartals (allgemein: dem ersten Handelstag jedes Terminmonats). Das ist eine Konvention, keine Empfehlung.

Fällt die Frist auf einen Tag ohne Kurs, wird am nächsten Kurstag umgeschichtet, am Schluss des Tages und zum Wert des Tages:

\begin{gathered} n_e = \frac{w_e\, W(t)}{P_e(t)} \\ n_b = \frac{(1 - w_e)\, W(t)}{P_b(t)} \end{gathered}

Bei Termin und Band ist die erste Frist der erste gemeinsame Tag plus Periode, jede weitere zählt weiter vom tatsächlichen Umschichtungstag plus Periode; fehlt der Tag im Zielmonat, gilt dessen letzter Tag. Nach Ablauf der Frist wird erst an dem Tag umgeschichtet, an dem der Aktienanteil vor dem Umschichten das Band $b$ erreicht:

\lvert w_e(t) - w_e \rvert \ge b

Die Bandbedingung oben rechnet der Backtest der Seite heute nicht; das Paket zeigt sie im zweiten Lauf.

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