Mathematik

Der gleitende Durchschnitt über ein Fenster der Länge $n$ ist der Mittelwert der letzten $n$ Schlusskurse:

$$\mathrm{SMA}_n(t) = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} P(t-i)$$

Das Fenster zählt Schlusskurse, also Handelstage, nicht Kalendertage. Der Unterschied ist erheblich: Ein Jahr hat knapp ein Drittel weniger Handelstage als Kalendertage. Dieselbe Zahl bedeutet in beiden Zählweisen ein deutlich anderes Fenster, und Werte aus fremden Auswertungen sind nur vergleichbar, wenn die Zählweise dieselbe ist.

Puffer

Die Zustandsbedingung mit Puffer lautet für den Einstieg und den Ausstieg getrennt, mit den Puffern $b_{\text{ein}}$ und $b_{\text{aus}}$ als Anteil der Linie:

$$\text{risk\_on}: \quad P(t) > \mathrm{SMA}_n(t)\,\bigl(1 + b_{\text{ein}}\bigr)$$ $$\text{risk\_off}: \quad P(t) < \mathrm{SMA}_n(t)\,\bigl(1 - b_{\text{aus}}\bigr)$$

Zwischen den beiden Schwellen bleibt der bisherige Zustand bestehen. Genau dieser Zwischenbereich ist der Sinn des Puffers: Ohne ihn fallen die beiden Bedingungen zusammen, und jede Berührung der Linie erzeugt einen Wechsel. Die Bestätigungstage $k$ verschärfen die Bedingung zeitlich: Sie muss an $k$ aufeinanderfolgenden Handelstagen gelten, bevor der Zustand wechselt.

Warum der Filter überhaupt mit Hebel zusammenhängt, zeigt die Rechnung zum Schwankungsschaden. Ein Produkt mit Tageshebel $L$ bildet das $L$-fache der Tagesrendite ab. Für die mittlere stetige Wachstumsrate $g_L$ bei Drift $\mu$ und Schwankungsbreite $\sigma$ gilt näherungsweise:

$$g_L \approx L\mu - \frac{L^2\sigma^2}{2}$$

Für den ungehebelten Fall ist $g_1 \approx \mu - \sigma^2/2$. Setzt man das ein, bleibt für den zweifachen Hebel:

$$g_2 \approx 2g_1 - \sigma^2$$

Der Hebel verdoppelt also nicht die Wachstumsrate, sondern zieht zusätzlich ein Glied ab, das mit dem Quadrat der Schwankungsbreite wächst. Deshalb ist ein gehebeltes Produkt in ruhigen Aufwärtsphasen günstig und in unruhigen Phasen teuer, und deshalb ist ein Filter, der die unruhigen Phasen meidet, für gehebelte Bestände relevanter als für ungehebelte. Das ist der rechnerische Kern hinter dem Argument von Gayed und Bilello, die denselben Zusammenhang empirisch über die Volatilität ober- und unterhalb des Durchschnitts zeigen. Die Näherung selbst steht nicht in ihrem Papier; sie stammt aus der Literatur zu gehebelten Produkten, etwa von Double-Digit Numerics.

Was das für die Regel selbst heißt, folgt aus derselben Näherung, weil sich die stetige Wachstumsrate über die Tage aufaddiert. Dazu teilt man die Handelstage nach dem Zustand der Regel: An einem Anteil $q$ der Tage ist sie draußen, an den übrigen investiert. $\mu_{\text{aus}}$ und $\sigma_{\text{aus}}$ sind Drift und Schwankungsbreite des Index an den Tagen draußen, $\mu_{\text{ein}}$ und $\sigma_{\text{ein}}$ an den übrigen, beide aus Tagesrenditen gemessen und aufs Jahr gerechnet; $r$ ist der stetige Zins, den das Geld im Aus bringt. Wer durchgehend hält, wächst mit

$$g_{\text{Halten}} \approx q\Bigl(L\mu_{\text{aus}} - \frac{L^2\sigma_{\text{aus}}^2}{2}\Bigr) + (1-q)\Bigl(L\mu_{\text{ein}} - \frac{L^2\sigma_{\text{ein}}^2}{2}\Bigr)$$

Die Regel tauscht den ersten Summanden gegen den Zins:

$$g_{\text{Regel}} \approx q\,r + (1-q)\Bigl(L\mu_{\text{ein}} - \frac{L^2\sigma_{\text{ein}}^2}{2}\Bigr)$$

Der Unterschied hängt also nur an den Tagen draußen:

$$g_{\text{Regel}} - g_{\text{Halten}} \approx q\Bigl(r - L\mu_{\text{aus}} + \frac{L^2\sigma_{\text{aus}}^2}{2}\Bigr)$$

Daraus folgen drei Dinge. Erstens senkt die Regel das Schwankungsglied, über die ganze Zeit gemittelt, von $q\sigma_{\text{aus}}^2 + (1-q)\sigma_{\text{ein}}^2$ auf $(1-q)\sigma_{\text{ein}}^2$. Anteilig um mehr als ihren Zeitanteil $q$ senkt sie es nur, wenn die Tage draußen schwankungsreicher sind als die übrigen, also $\sigma_{\text{aus}} > \sigma_{\text{ein}}$. Zweitens bezahlt sie dafür mit der Drift dieser Tage: Die Regel liegt nur vorn, wenn das gehebelte Produkt an den Tagen draußen langsamer gewachsen wäre als der Zins, also $L\mu_{\text{aus}} - L^2\sigma_{\text{aus}}^2/2 < r$. Fällt das Aus zufällig, ohne Bezug zu Drift und Schwankung, gleichen die Tage draußen im Mittel dem Durchschnitt; dann liegt die Regel nur vorn, wenn schon das Halten langsamer wächst als der Zins, und sonst tauscht sie Wachstum gegen Zins. Drittens wächst in der Klammer das Schwankungsglied mit $L^2$, die Drift nur mit $L$. Oberhalb von $L = \mu_{\text{aus}}/\sigma_{\text{aus}}^2$ wächst die Klammer mit dem Hebel; ist die Drift draußen null oder negativ, gilt das für jeden Hebel. So können dieselben Tage draußen beim zweifach gehebelten Produkt einen Vorsprung bringen, wo sie beim Index keinen bringen. Das ist der Zusammenhang aus $g_2$, an der Regel selbst gezeigt. Weil die Tage nach der gehaltenen Position aufgeteilt sind, nicht nach dem Signaltag, steckt die Verzögerung nach einem Signal bereits in der Aufteilung; Handelskosten der Wechsel fehlen in der Rechnung. Ob ein gleitender Durchschnitt tatsächlich in den schwankungsreichen Phasen draußen ist, sagt sie nicht, das zeigen nur die Daten.

Tag für Tag gerechnet

Die Website wendet die Regel Tag für Tag an, jeweils am Schlusskurs (Close).

Gerechnet wird ein Puffer $b$ für beide Richtungen, ein Bestätigungstag und der Vergleich mit $\ge$; die getrennten Puffer $b_{\text{ein}}$ und $b_{\text{aus}}$ und die Bestätigungstage $k$ oben sind die allgemeine Form.

Die Linie hängt vom Zustand des Vortags ab. War der Index drin, liegt sie um den Puffer unter dem Durchschnitt, war er draußen, um den Puffer darüber; am ersten Tag mit voller Linie gilt der Durchschnitt selbst:

$$L(t) = \begin{cases} \mathrm{SMA}_n(t)\,(1 - b) & \text{Vortag drin} \\ \mathrm{SMA}_n(t)\,(1 + b) & \text{Vortag draußen} \end{cases}$$

Ob das Geld im Markt ist, entscheidet der Vergleich von Index und Linie: $P(t) \ge L(t)$

Wechselt das Ergebnis, ist das ein Kreuzen (Cross) der Linie, und am selben Schlusskurs folgt der Einstieg oder der Ausstieg. Linie und Geld folgen demselben Vergleich; gerundet wird nur für die Anzeige. Jeder Einstieg und jeder Ausstieg kostet den Anteil $c$ des Werts $W$:

$$W \leftarrow W\,(1 - c)$$

Im Aus trägt das Geld an jedem Handelstag mit Produktkurs den Tagessatz des Geldmarkts. $r$ ist der zuletzt bekannte Satz in Prozent pro Jahr, ohne bekannten Satz 2,5 %; ein negativer Satz zählt als 0:

$$z = \bigl(1 + \max(r, 0)/100\bigr)^{1/252} - 1$$

Am Einstiegstag trägt das Geld noch Zins, am Ausstiegstag nicht mehr. Die Startentscheidung am ersten Tag mit voller Linie kostet nichts und zählt nicht als Trade.